五次方程：群与域——数学精灵阿贝尔与伽罗瓦(3)

更有价值的是，丢番图比较系统地提出了代数符号概念。例如，他用希腊字母的前几个α、β、γ表示数字1、2、3，而用其他字母表示未知数不同的幂次。他采用速记的形式来表达高次方程，这样的表达可以称之为速记代数。十六世纪以前的欧洲，用一套符号使得书写更为方便、简洁的只有丢番图一人。可以说，丢番图使得代数从几何形式中解脱出来，成为数学的一个重要分支。
值得一提的是，古代中国尤其是宋元时期的数学取得了辉煌的成就。南宋秦九韶发明了用迭代法求高次方程近似解（正根）的“正负开方术”，被现代人称为秦九韶算法。元代李冶发明“天元术”，用特定汉字表示未知数，打破了以《九章算术》为代表的“文辞代数”。稍后朱世杰发明“四元术”，将其推广到四个未知数的情形。他们的工作堪称“半符号代数”。
在印度，七世纪的数学家婆罗摩笈多首先得到了0的运算法则，他给出了二次方程的求根公式，允许系数可正可负，他还用数上方加点的方式来表示负数，用不同的颜色首字母表示不同的未知数，效果与字母表达的方程十分接近。到了十二世纪，婆什伽罗给出的二次方程求根公式与现代的如出一辙，他还讨论了个别的三次方程和双二次方程。
阿拉伯数学家花拉子密生活在九世纪，他对二次方程做了全面系统的讨论。更重要的是，他的著作《代数学》在一一四〇年被译成拉丁文出版后，在欧洲被用作标准的教科书长达数个世纪，代数学（Algebra）因此书而得名，他本人的名字则成为“算法”（Algorithm）。与丢番图一样，花拉子密也享有“代数学之父”的美名。
时光到了十六世纪，在亚平宁半岛，三次方程和四次方程的求解即将取得里程碑式的进展。在此之前，在哥伦布到达美洲两年之后的一四九四年，他的意大利同胞数学家帕乔利在一部百科全书式的数学巨著最后以悲观的语调写道，“对于三次和四次方程，直到现在还不可能形成一般规则”。他还认定，那无疑与古希腊遗留下来的化圆为方问题一样困难。
或许，正是为了挑战帕乔利的悲观论调，他的同胞数学家们接连取得了突破性的进展。先是欧洲最古老的博洛尼亚大学数学教授费罗解出了缺项的三次方程x3 mx=n（系数为正），接着，自学成才的塔尔塔利亚（意思是口吃者，起因于入侵法国士兵的砍刀）不仅也能解上述三次方程，同时他还会解方程x3 mx2=n（要求系数为正）。
一五三五年，在费罗去世九年后，他的徒弟菲尔奥与塔尔塔利亚有过一场公开的数学竞赛。这是那个时代数学家的传统，他们相互出同样数量的题目（方程），然后在规定的时间内交卷，结果当然塔尔塔利亚大获全胜。借这个东风，塔尔塔利亚后来完全解决了三次方程的求解问题，即与二次方程的求解一样，通过根式来表达。