五次方程：群与域——数学精灵阿贝尔与伽罗瓦(5)

现在，我们要说说阿贝尔的工作了。在中学最后一年，他雄心勃勃地试图解决一般五次方程的根式求解问题。不久他找到了求解公式，他的老师霍尔姆伯看不出证明的破绽。于是，这篇文章便寄给了一位丹麦数学家，那位数学家也没看出毛病，却谨慎地建议他再举例说明。斟酌之下，阿贝尔终于发现论证本身存在漏洞。
其实，拉格朗日在五次方程求解问题上也栽过跟头。他后来认识到，用类似三次和四次方程求解的方法去导出五次方程的解是不可能的。比拉格朗日晚一辈的意大利数学家鲁菲尼对这个问题也进行了一番努力，他写成了一篇五百多页的论文，证明一般五次方程不能通过一个公式求解。然而，他的证明既冗长又有漏洞，并未被人们接受，同时也鲜为人知。
上大学以后，阿贝尔也开始往相反方向使力。终于在一八二四年，他成功地证明了五次或五次以上的方程不存在一般根式解。可是，依然没有人可以验证他的证明。翌年，在教授们的帮助下，他获得挪威政府的旅行奖学金，准备去拜访西欧国家一些知名数学家。可是，阿贝尔只是在柏林遇到一位业余数学爱好者兼出版家克莱尔，他是继霍尔姆伯之后第二个对他的事业有较大帮助的人。
克莱尔与霍尔姆伯都相信，阿贝尔是了不起的数学家。克莱尔在一八二六年创办了一本叫《纯粹数学与应用数学杂志》的期刊，首卷即发表了阿贝尔的七篇论文，其中包括《四次以上方程的不可解证明》。在前三卷里，居然连续发表了阿贝尔的二十二篇论文，内容涉及面很广，包含方程论、无穷级数、椭圆函数论等。可是，这本如今德国最重要的数学杂志在当时并没有什么影响力。
在巴黎，那时和现在一样，每到夏天大多数人都到海滨避暑去了。阿贝尔潜心于数学问题，完成了一篇关于超越函数的论文，递交给法国数学界的元老勒让德和权威柯西审阅，却被忽视了。椭圆函数是复分析理论中非常重要的一种双周期亚纯函数，由阿贝尔首先定义，他把它看作椭圆积分的反函数。如今椭圆函数在数论和物理学中都有着广泛的应用，与椭圆曲线和模形式也有着深刻的联系。
后来，比阿贝尔小两岁的德国数学家雅可比称赞阿贝尔的这篇论文“也许是这个世纪最伟大的数学发现”。多年以后，年轻一代的法国数学家埃尔米特仍然赞叹，这篇论文里“留下来的东西足够让数学家们忙碌五百年”。一八三〇年，为了弥补以往的过失，法国科学院同时授予阿贝尔和雅可比数学大奖。遗憾的是，前一年阿贝尔已经病逝。
再来说说让阿贝尔获得信心和旅行奖学金的那篇有关高于四次的方程不可解性的论文，在他出发旅行之前，便在奥斯陆印刷了好多份。可是，为了节省费用，阿贝尔把论文压缩成只有六页的篇幅。这样一来，对大多数人来说，即便是数学同行，也几乎像密码一样晦涩难读了。其结果是，原先阿贝尔希望作为“名片”或敲门砖的论文没有起到任何效果。