五次方程：群与域——数学精灵阿贝尔与伽罗瓦(7)

第二年圣诞节过后，阿贝尔向他的同学和老师们宣布他订婚了。但阿贝尔尚且不能养活自己，更无力迎娶克里斯汀。一八二八年圣诞节，他乘雪橇回去看望未婚妻，途中病情加重；虽然暂时的好转让他们一起享受了假期，但他最终没有熬过那年春天。

克里斯汀
就在阿贝尔去世后的第三天，克莱尔的一封信到达挪威。原来克莱尔一直在柏林为阿贝尔找工作，最终成功地让他获得柏林大学的教授职位。但是，这个好消息来得太晚了。此外，四位法国科学院院士也曾联袂给瑞典－挪威国王写信，希望他重视阿贝尔这位天才。除了证明高于四次的方程不存在根式解以外，阿贝尔还是椭圆函数论的奠基人之一，他为无穷级数理论奠定了严密的基础，同时求解出了第一个积分方程。
伽罗瓦理论
一八二七年春天，就在阿贝尔去世前五天，还是中学生的伽罗瓦发表了第一篇论文，那是一篇有关连分数的论文，但他并不满足于此。与阿贝尔一样，伽罗瓦起初也把目标对准五次和五次以上方程的可解性问题，他着力于寻找这类方程的一般根式解，以求一鸣惊人。可是后来，他也转移了目标。
为了研究方程的可解性问题，伽罗瓦发明了“群”的概念，进而他建立起一门新的数学分支，现在人们称这套方法为伽罗瓦理论。所谓群，是由一些元素组成的，记为G（group）。这些元素之间存在一种运算×，它满足四条性质：封闭性，a和b属于G，则a×b也属于G；结合律，a、b、c属于G，则(a×b)×c=a×(b×c)；存在单位元1属于G，即对任意a属于G，满足1×a=a×1=a；对任何a属于G，存在逆元素b，a×b=b×a=1。
如同高斯所证明的，每个n次复系数方程有n个复根。依照排列组合原理，n个根有n阶乘（n!）个置换，它们在乘法意义上构成置换群Sn。例如，三次方程的三个根x1、x2、x3组成的置换群S3共有6个元素，如果用下标表示的话便是（1），（12），(13)，(23)，（123）和（132），其中（1）表示恒等置换，（12）表示x1和x2互换，而（123）表示x1、x2、x3轮换。
按照拉格朗日定理，对有限群来说，子群的阶数（元素个数）必整除群的阶数，两者相除所得的整数叫指数。伽罗瓦定义了正规子群，它是一种性质较好的子群。例如，（1）（123）（132）组成的子群H是正规子群，阶数最高的正规子群称为最大正规子群。对于方程的可解性判断来说，伽罗瓦理论的精妙之处在于：n次方程根式可解当且仅当它的置换群Sn的最大正规子群系列之间的指数均为素数。