物质的态与相(7)

楞次—伊辛模型表明，哪怕是最简单的相互作用，都足以使物质产生不同相。从后续的临界理论反观，这一结果的背后是临界点处关联长度无穷大，使得研究者在此可以忽略相互作用的具体形式，而聚焦于长程序形成机理。二战后的统计力学模型具有一个共同特点，即强调数学可解性而牺牲物理真实性，这是因为真实物理系统的相互作用过于复杂，因此必须依靠少数平衡了现实性和可解性的模型来理解相变，楞次—伊辛模型就是其中的范例。在这一过程中，“态”被“相”逐渐取代，铁磁材料的研究拓展了“相”的外延，基于微观相互作用的研究范式更随着“相”的使用而流行，但“相”的内涵以及“相变”的解析本质，人们依然没有认识到。
04
相变的解析本质：杨—李理论及现代相变理论
1952年，杨振宁先生和李政道先生于Physical Review上发表了两篇里程碑式的文章，大题目都是“statistical theory of equations of state and phase transitions”。其中，第一篇文章的小标题为“theory of condensation”[31]，他们提出复数化配分函数的思想，并由此建立了李—杨零点及热力学极限的概念。第二篇文章的小标题为“lattice gas and ising model”[32]，主要针对楞次—伊辛模型及与之等价的格气模型(lattice gas)的演算，得出磁体系零点分布通用的李—杨圆定理[32]。这两篇文章，加上之前的准备[30]，使得两位先生完成了相变理论中于笔者看来在数学上最美的篇章。当前教科书对其介绍浅尝辄止，一般仅涉及热力学极限，但零点理论首次阐明了相变的解析本质这一点往往强调地不够。
我们知道，配分函数等于系统各微观状态的指数加和，这一形式蕴藏着更为深刻的物理内涵，李政道与杨振宁两位先生最先注意到了这点。不失一般地，考虑了一个体积为V、化学势为μ 的单原子气体开放系统，体系自由能函数为G=E-TS pV μn，系统粒子数n可变。其巨正则系综配分函数写作：

第一个公式是关于所有不同微观状态组(E, n)的贡献求和，我们关注粒子数的变化，将前半部分对不同能量态E求和，得到Zn(V, T)，此即固定粒子数下系统的正则配分函数，进而可得后半部分。简记y=e-βμ，an=Zn(V, T)，并注意到该式中n取整数。第二个公式右式就是一个数学上标准的以y为元、an为系数的N阶多项式。利用代数基本定理对其进行多项式分解，即可得第二行最终的表达式。其中yi (i=1,⋯,N)是该多项式在复平面上的N个零点，满足Ξ(yi)=0。由于自由能正比于配分函数的对数，对不同外场求各阶导数即可得相应性质的系综平均，故当取实零点使得Ξ(y)=0时，自由能和各阶导数均出现发散行为，这就是我们看到的相变。