数学方法中的公理化分析与讨论

一、公理化方法的历史沿革
公理化方法（也称公理法）的广泛使用是现代数学的一大特点。数学中的公理化方法起源于欧几里德的《几何原本》(又称《原本》)。欧几里德基于当时所积累的丰富的几何事实，把一些基本概念(点、线、面)加以定义，并选择一些几何的基本命题称为公理。(欧氏原称"公设")它们代表了几何学的基本内容,是全部几何学的逻辑依据。据此运用形式逻辑的法则可以把其余的命题推演出来。这种被推演出来的命题称作定理。
欧几里得的《原本》就是按照这种几何的公理化结构来撰写的。《原本》问世以后，一般都认为它反映了古希腊几何学的最高成就，是此后2000多年严格论证的典范。然而逻辑严密性与其它事物不是绝对一成不变的，而是变化发展的。用现代数学的观点来看，号称逻辑严密完善的《原本》。它的缺点恰恰就在于不是那么严密、不完善。例如欧氏对“点、线、面”并未做逻辑的严格定义，而是一个明显的直觉性的描述。又如由于公理太少，而且所给的公理又是不完备的，缺少像表达点和线的相关位置的结合公理，因而类此的定理并不能由欧氏的公理系统推衍出来。而需籍助于直观“。所以在一些定理的证明过程中，看图是作为证明的一种基本方法，图形则是证明的不可缺少的部分。

由于对平行公设(即第五公设)独立性的讨论,罗巴切夫斯基发现了非欧几何，而非欧几何的建立又在整个数学内部引起了深刻的变革。为了证实罗巴切夫斯基的结论，为了补足欧氏几何的严密性同时也是为了澄清两种几何是并行不悖的,希尔伯托等对几何基础进行了深入的研究。希氏注意到要研究数学中的逻辑推理，要考虑哪些推理过程可以实现，哪些推理过程不能实现。这只与前提和结论的逻辑构成形式有关，而与命题的具体涵义无关。
因此希氏在他的名著《几何基础》当中，放弃了《原本》中公理系统的直观显然性，强调了逻辑推理。只把初等几何中有关基本概念的最根本的东西抽象出来作为公理。而把那些对空间直观进行逻辑分析时无关宏旨的内容加以扬弃，给出了一个自然、简明、全面而又严格的初等几何公理系统。当把这些基本概念看作某一具体领域的元素和关系时，若公理成为该领域的真命题(而这一领域被认为是更有根据的、在逻辑上是清楚的),就叫做给公立系统一个解释。或者说给出公理系统的一个模型。