数学方法中的公理化分析与讨论(3)

对于公理化系统除了协调性的要求外，还应考虑独立性。在一个公理系统中，若公理A不能从其它公理推得，则称A对于其它公理是独立的。我们当然希望在公理系统中没有冗余的东西，希望公理系统尽可能精简。也就是说希望公理系统所包括的要求应该是极少的。然而对一条独立的公理就不能轻易删除，否则它所包含的内容、所代表的一部分事实将不能从其它公理推得。删去的东西就无从得到补充。
独立性问题是很有意义的，非欧几何的创立性就是源于对公设(第五公设)的独立性的探讨。同时,在一个已经极小化了的公理系统中,把所有可能推出的且无可再多的定理证出来，这就是以最好的方式阐明了几何学的逻辑结构，这样才是揭示了几何命题间逻辑关系的全部内容，才真正算是充分地发挥了逻辑推演的作用。
公理系统还应该是完备的，即应籍此出发借助于逻辑系统规则推演出一个数学分支的全部真命题。协调性独立性、完备性是公理化系统的特征。希氏解决了他的公理系统的独立性、极小性和完备性问题，并给出了协调性的相对证明。

三、公理化方法的作用和意义
自希氏的《几何基础》问世以来，用公理化来研究数学的热潮普遍兴起，实践证明：公理化法不仅能探求各个分支的逻辑结构，而且能够发现新的知识。许多重大的数学成果和其它学科的发展都说明了这个方法的巨大作用与强大的生命力。首先应该强调的是：公理化系统作为所考察数学理论的基本概念的隐定义，如群论的四条公理就刻划了具有群结构的对象的基本特征。那么由群公理所推演出来的定理(如群中任意几个元素的乘积,由它们自身及它们的顺序唯一决定)，在群的所有具体模型中都是自然成立的。也就是说这种群结构既表示了抽象的群结构的抽象特征,也表示了群的无限多个模型的具体性质。因此可以认为这种定理就不只是"一个"定理,而是一类定理了！