数学方法中的公理化分析与讨论(2)

例如:考虑一非空的抽象元素的集合M,用x、y 、z...来表示M中的元素，M上有一个抽象的关系："在...之前“，或者简记为“”。这里，没有说明x、y、z究竟是什么,也没有说明“”的具体涵义。我们列举两条关于他们的公理：(1)任何元素都不在它自身之前,即对同一元素而言，都不存在"在.......之前"关系,也就是说“”关系是不自返的。(2) 如果"x在y之前，y在z之前"，则"x在z之前",此即为：如果xy，yz，则xz。也就是说关系""是传递的,不难看出公理系统(1)、(2)是有模型的。

二、公理系统的特征
当希尔伯托用形式公理法来展开初等几何的逻辑结构时，首先提出了公理系统的协调性问题。即当基于他的公理系统做逻辑推演时，是不会推出互相矛盾的命题来的，否则这个公理系统就不能反映"真、假"。因而也就没有实际意义了! 他在算术的协调性的条件下证得了欧氏几何(平面)的协调性,也就是说给出了欧氏几何的协调性的一个相对的证明。而由于悖论引起了数学基础的危机，策墨罗曾企图通过集合论的公理化来消除悖论。
希尔伯托认为，要消除悖论则要证明数学的无矛盾即协调性，使数学奠定在严格的公理化的基础上。也就是说，在他们看来任何数学分支都是基于他的公理的一个演绎系统，为了排除悖论，每一门科学乃至一切演绎科学包括所用到的逻辑本身都应考虑他们的协调性。以保证古典数学的成果不为悖论所动摇。
为了给出协调性的绝对证明，希氏创立了证明论和有穷方法，这对数学思想的发展，对数理逻辑和数学基础的研究有着很大的促进作用和深远影响。以协调性为中心论题的证明论已成为公认的数理逻辑的四大分支之一。(数理逻辑的其它三个分支为：公理化集合论,模型论和递归论)