数学方法中的公理化分析与讨论(4)
2023-05-01 来源:飞速影视
这说明了公理化法与其抽象性以及应用的广泛性的密切联系,这就是公理化法的力量所在。然而,之所以能做出如此高度的概括与抽象,正在于人们对许多具体的群进行了大量的分析、综合之后,对群的基本特征有了充分的认识,才能够抽象得正确,归纳得恰当,得出这四条公理来。使得能够基于它们来展开群的理论,来观测群的一般结构。这样就不只是在整理这个分支的知识时起到了逻辑依据的作用,不只是单纯地使得讨论简便一些而已,而且更重要的是使得这一分支取得了更为抽象的形式。更符合现代逻辑严密性的要求。
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这当然是一种新的重要的知识,这也正是许多数学分支(如代数、几何、拓扑、数论等)广泛采用公理化法的原因。其次,非欧几何的创立,使公理法能够发现新知识的典型例证。基于对欧氏公理系统中公设五的长期讨论最后得到了独立性的结论,从而得到了一种新的几何学(非欧几何学)。同时也指出了几何学的逻辑结构对于几何直观有一定的独立性,还指出了康德把几何学与人类实践分开的唯心论观点是错误的。在此;希氏关于欧氏几何的协调性的相对证明,指出了欧氏几何的协调性依赖于算术的协调性。两个如此不同的领域的结论有着如此密切的联系,这当然颇为发人深省。集合论的公理化,不仅能够避免已知的悖论,而且使得一些长期未能解决的重大问题得到了答案。科恩在1963年对连续统假设和选择公理的独立性的证明就是其中杰出的成就。并且因而促进了公理化集合论乃至整个数理逻辑的研究。
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1891年皮亚诺提出了自然数的五条公理以后,促进了算术理论的研究。哥德尔的不完全性定理指出:即使事像算数或者含有算术的系统,如果它是协调的,则存在一个显然是真命题A,但不能从此系统的公理推出(即A不可证明)同时,也不可否证(即A的逆命题亦不可推出)。歌德尔还指出:算术或者包含算术的理论的协调性,都不能用同一系统所建立的逻辑工具来证明。因此全部数学公理化是不可能的,所以希尔伯托的证明论方案是不可能实现的。
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