数学方法中的公理化分析与讨论(4)

这说明了公理化法与其抽象性以及应用的广泛性的密切联系，这就是公理化法的力量所在。然而，之所以能做出如此高度的概括与抽象，正在于人们对许多具体的群进行了大量的分析、综合之后，对群的基本特征有了充分的认识，才能够抽象得正确，归纳得恰当，得出这四条公理来。使得能够基于它们来展开群的理论，来观测群的一般结构。这样就不只是在整理这个分支的知识时起到了逻辑依据的作用，不只是单纯地使得讨论简便一些而已，而且更重要的是使得这一分支取得了更为抽象的形式。更符合现代逻辑严密性的要求。

这当然是一种新的重要的知识，这也正是许多数学分支(如代数、几何、拓扑、数论等)广泛采用公理化法的原因。其次，非欧几何的创立，使公理法能够发现新知识的典型例证。基于对欧氏公理系统中公设五的长期讨论最后得到了独立性的结论，从而得到了一种新的几何学(非欧几何学)。同时也指出了几何学的逻辑结构对于几何直观有一定的独立性，还指出了康德把几何学与人类实践分开的唯心论观点是错误的。在此；希氏关于欧氏几何的协调性的相对证明，指出了欧氏几何的协调性依赖于算术的协调性。两个如此不同的领域的结论有着如此密切的联系，这当然颇为发人深省。集合论的公理化，不仅能够避免已知的悖论，而且使得一些长期未能解决的重大问题得到了答案。科恩在1963年对连续统假设和选择公理的独立性的证明就是其中杰出的成就。并且因而促进了公理化集合论乃至整个数理逻辑的研究。

1891年皮亚诺提出了自然数的五条公理以后，促进了算术理论的研究。哥德尔的不完全性定理指出：即使事像算数或者含有算术的系统，如果它是协调的，则存在一个显然是真命题A，但不能从此系统的公理推出(即A不可证明)同时，也不可否证(即A的逆命题亦不可推出)。歌德尔还指出：算术或者包含算术的理论的协调性，都不能用同一系统所建立的逻辑工具来证明。因此全部数学公理化是不可能的，所以希尔伯托的证明论方案是不可能实现的。