数学方法中的公理化分析与讨论(5)

哥德尔的这一划时代的成就。曾被誉为当代逻辑学家最重要的发展，是数学和逻辑史上的里程碑。冯诺依曼在1951年3月14日在普林斯顿授予哥德尔以爱因斯坦奖章时说道："哥德尔的这一发现在现代逻辑上是卓绝而不朽的。诚然它胜似一座纪念碑，它也是一个里程碑。这座里程碑虽经四海八荒，千秋万代都仍将光辉闪耀，烛照来者。(纽约时报1951年3月15日报道）
虽然哥德尔的杰出成果是基于公理法而发现的新知识，并且还指出了公理法自身有某种内在的局限。从而使希尔伯托的"证明论方案"宣告破产，当然不应由此简单的归结为对公理法的否定,而应视作对公理法认识的进一步深化，这正像我们不应把公理法看作是数学中的唯一方法，不能过分的强调演绎推理一样。无疑这些基于公理法所发现的数学新知识，应该有助于说明公理法的作用和意义。
如前所述，公理法可以上溯自古希腊时期，特别在希氏的《几何基础》问世以后，更是被争相引用，流传甚广，已成为数学中的主要方法。许多重大的数学分支，都经历过公理化的分析与讨论。其它学科沿用公理法的例子也不少见。牛顿仿效欧氏几何把从哥白尼到开普勒时期所积累的力学知识，用公理法组成一个逻辑体系，使得能够从牛顿三定律出发，依据逻辑法则把力学定律逐条推出。18世纪，拉格朗日用变分原理研究任意力学系统的微分方程和轨迹。使用公理法对这个领域的成果作出了概括和总结，写成了《解析力学》，这是解析力学的奠基之作。
此外在现代物理学当中，有一个最小作用量原理。从这个原理出发，能把各方面的理论统一起来。这个理论在刚建立的时候，只不过是把牛顿力学重新表达一下而已。后发现在光学和电动力学中都遵守最小作用量原理，从而说明这个原理具有更普遍的指导意义。而现今的基本粒子理论，都是从最小作用量原理出发来进行论证的。