数学方法中的公理化分析与讨论(5)
2023-05-01 来源:飞速影视
哥德尔的这一划时代的成就。曾被誉为当代逻辑学家最重要的发展,是数学和逻辑史上的里程碑。冯诺依曼在1951年3月14日在普林斯顿授予哥德尔以爱因斯坦奖章时说道:"哥德尔的这一发现在现代逻辑上是卓绝而不朽的。诚然它胜似一座纪念碑,它也是一个里程碑。这座里程碑虽经四海八荒,千秋万代都仍将光辉闪耀,烛照来者。(纽约时报1951年3月15日报道)
虽然哥德尔的杰出成果是基于公理法而发现的新知识,并且还指出了公理法自身有某种内在的局限。从而使希尔伯托的"证明论方案"宣告破产,当然不应由此简单的归结为对公理法的否定,而应视作对公理法认识的进一步深化,这正像我们不应把公理法看作是数学中的唯一方法,不能过分的强调演绎推理一样。无疑这些基于公理法所发现的数学新知识,应该有助于说明公理法的作用和意义。
如前所述,公理法可以上溯自古希腊时期,特别在希氏的《几何基础》问世以后,更是被争相引用,流传甚广,已成为数学中的主要方法。许多重大的数学分支,都经历过公理化的分析与讨论。其它学科沿用公理法的例子也不少见。牛顿仿效欧氏几何把从哥白尼到开普勒时期所积累的力学知识,用公理法组成一个逻辑体系,使得能够从牛顿三定律出发,依据逻辑法则把力学定律逐条推出。18世纪,拉格朗日用变分原理研究任意力学系统的微分方程和轨迹。使用公理法对这个领域的成果作出了概括和总结,写成了《解析力学》,这是解析力学的奠基之作。
此外在现代物理学当中,有一个最小作用量原理。从这个原理出发,能把各方面的理论统一起来。这个理论在刚建立的时候,只不过是把牛顿力学重新表达一下而已。后发现在光学和电动力学中都遵守最小作用量原理,从而说明这个原理具有更普遍的指导意义。而现今的基本粒子理论,都是从最小作用量原理出发来进行论证的。
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